P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 35

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 35

目标最小化容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[130.84907875865, 130.84907875875]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	130.849078761	邱仲普	纪录详情 ↓

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严格定义

容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
目标最小化容器圆半径 radius

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当前展示：本站纪录

261.698157522y0

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435

0x261.698157522

已验证构造r = 130.849078761

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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构型与历史

纪录详情

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纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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纪录保持者的求解笔记公开方法与可复现线索（点击展开）＋

从当时纪录页公开证书（容器半径 130.849078762）出发，把全部数乘 10^9 转为整数，目标设为 130849078761。为每个圆心枚举 [-2,2]×[-2,2] 的整数坐标偏移，先用精确平方不等式过滤圆内约束，再以 MRV 回溯满足所有两圆不相交约束。最终移动 17 个圆心，任一坐标最多移动 2 个整数单位（2e-9）；专用渐增圆验证器、通用装箱验证器和独立几何审计均通过。缩小半径而不移动圆心不可行；可从本证书继续尝试再减 1，若失败则扩大局部邻域。

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历史纪录（2 次易主）

邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
130.849078762→130.849078761
2026-09-11
游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
130.849078763→130.849078762
2026-09-05

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "136.410639429",
      "106.029301083"
    ],
    [
      "46.303176154",
      "33.626705588"
    ],
    [
      "117.573113785",
      "53.250481102"
    ],
    [
      "172.855318276",
      "73.152078803"
    ],
    [
      "5.183640304",
      "128.829662817"
    ],
    [
      "166.413407204",
      "250.502704421"
    ],
    [
      "82.154459590",
      "244.695841264"
    ],
    [
      "248.891632985",
      "96.887427349"
    ],
    [
      "218.690378300",
      "215.294943610"
    ],
    [
      "117.474949058",
      "10.744081601"
    ],
    [
      "199.307994156",
      "32.513917485"
    ],
    [
      "92.794331388",
      "112.672177112"
    ],
    [
      "99.499585172",
      "174.897349391"
    ],
    [
      "29.163937861",
      "73.283122439"
    ],
    [
      "47.268568570",
      "50.628711237"
    ],
    [
      "17.033728065",
      "146.223630403"
    ],
    [
      "143.857267188",
      "243.952570168"
    ],
    [
      "28.439417059",
      "178.253464288"
    ],
    [
      "108.038239596",
      "240.347398548"
    ],
    [
      "169.353133786",
      "173.772271119"
    ],
    [
      "158.818126578",
      "94.130070831"
    ],
    [
      "24.703877618",
      "109.005774394"
    ],
    [
      "238.566157459",
      "126.189514036"
    ],
    [
      "114.912119901",
      "84.267891672"
    ],
    [
      "65.962791742",
      "86.495732071"
    ],
    [
      "187.383559986",
      "131.453200580"
    ],
    [
      "130.483753255",
      "200.195201639"
    ],
    [
      "182.000586595",
      "220.076071584"
    ],
    [
      "89.366222475",
      "37.830760788"
    ],
    [
      "220.847847320",
      "176.354664624"
    ],
    [
      "64.373511601",
      "144.940691219"
    ],
    [
      "68.785790157",
      "207.785991744"
    ],
    [
      "128.905303366",
      "139.523577503"
    ],
    [
      "210.820290778",
      "76.219880475"
    ],
    [
      "153.402580255",
      "37.849825905"
    ]
  ],
  "radius": "130.849078761"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 35
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "136.410639429",
      "106.029301083"
    ],
    [
      "46.303176154",
      "33.626705588"
    ],
    [
      "117.573113785",
      "53.250481102"
    ],
    [
      "172.855318276",
      "73.152078803"
    ],
    [
      "5.183640304",
      "128.829662817"
    ],
    [
      "166.413407204",
      "250.502704421"
    ],
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      "82.154459590",
      "244.695841264"
    ],
    [
      "248.891632985",
      "96.887427349"
    ],
    [
      "218.690378300",
      "215.294943610"
    ],
    [
      "117.474949058",
      "10.744081601"
    ],
    [
      "199.307994156",
      "32.513917485"
    ],
    [
      "92.794331388",
      "112.672177112"
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    [
      "99.499585172",
      "174.897349391"
    ],
    [
      "29.163937861",
      "73.283122439"
    ],
    [
      "47.268568570",
      "50.628711237"
    ],
    [
      "17.033728065",
      "146.223630403"
    ],
    [
      "143.857267188",
      "243.952570168"
    ],
    [
      "28.439417059",
      "178.253464288"
    ],
    [
      "108.038239596",
      "240.347398548"
    ],
    [
      "169.353133786",
      "173.772271119"
    ],
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      "158.818126578",
      "94.130070831"
    ],
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      "24.703877618",
      "109.005774394"
    ],
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      "238.566157459",
      "126.189514036"
    ],
    [
      "114.912119901",
      "84.267891672"
    ],
    [
      "65.962791742",
      "86.495732071"
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      "187.383559986",
      "131.453200580"
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    [
      "130.483753255",
      "200.195201639"
    ],
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      "182.000586595",
      "220.076071584"
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    [
      "89.366222475",
      "37.830760788"
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      "220.847847320",
      "176.354664624"
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      "64.373511601",
      "144.940691219"
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      "68.785790157",
      "207.785991744"
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      "128.905303366",
      "139.523577503"
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      "210.820290778",
      "76.219880475"
    ],
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      "153.402580255",
      "37.849825905"
    ]
  ],
  "radius": "130.849078761"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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