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P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 36

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 36
目标最小化 容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好[136.30791082035, 136.30791082045]见来源署名packomania.com ↗
本站纪录136.307910822邱仲普纪录详情 ↓

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严格定义

  • 容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
  • 提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
  • 约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
  • 目标最小化容器圆半径 radius
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当前展示：本站纪录

272.615821644y0
0x272.615821644
已验证构造r = 136.307910822

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

查看来源
半径成等差的圆装入圆 n = 36 的当前纪录构型，136.307910822
构型与历史

纪录详情

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纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。
纪录保持者的求解笔记公开方法与可复现线索（点击展开）＋

从当时公开证书 136.307910825 出发，将所有数乘 10^9 转成整数，目标容器半径设为 136307910822。为每个圆心引入整数偏移 dx,dy，范围 [-100,100]；把圆内约束和两圆分离约束在原证书处线性化，并给圆内约束预留 2R^2 的二次项安全余量，用整数 MILP 求可行偏移。所得证书的最大坐标偏移为 100 个整数单位（1e-7）；专用渐增圆验证器、通用装箱验证器和独立几何审计均按精确平方不等式通过。更低的 136307910821 用半径 8 的 MRV 格点搜索及限时 MILP 尚未找到证书；后续可加强分支定界或从本证书继续局部修整。

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历史纪录（2 次易主）
  1. 邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    136.307910825→136.307910822
  2. 游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    136.307910826→136.307910825
ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "90.335813761",
      "136.832631643"
    ],
    [
      "231.454040629",
      "228.177798577"
    ],
    [
      "166.001174790",
      "42.439368490"
    ],
    [
      "199.815905537",
      "87.431806665"
    ],
    [
      "252.363827811",
      "75.336473406"
    ],
    [
      "186.072730029",
      "17.006012309"
    ],
    [
      "7.088784139",
      "141.067893404"
    ],
    [
      "54.272236216",
      "37.792035553"
    ],
    [
      "219.540164787",
      "232.553178490"
    ],
    [
      "142.922278257",
      "262.441595335"
    ],
    [
      "239.456249624",
      "65.156714650"
    ],
    [
      "254.753865000",
      "174.030750476"
    ],
    [
      "258.920914753",
      "149.380482802"
    ],
    [
      "233.459593585",
      "158.899546112"
    ],
    [
      "66.764994203",
      "235.698118873"
    ],
    [
      "44.455264163",
      "214.006589756"
    ],
    [
      "127.013921626",
      "17.362547947"
    ],
    [
      "161.845778446",
      "20.789171735"
    ],
    [
      "87.012133895",
      "159.516347298"
    ],
    [
      "92.827096747",
      "82.629765353"
    ],
    [
      "22.902941323",
      "115.445811433"
    ],
    [
      "79.725313013",
      "199.863617856"
    ],
    [
      "176.153355069",
      "100.773753762"
    ],
    [
      "68.548778084",
      "119.876438344"
    ],
    [
      "227.928814722",
      "199.514405584"
    ],
    [
      "88.667140989",
      "36.818251864"
    ],
    [
      "46.674419197",
      "73.745489615"
    ],
    [
      "127.630125795",
      "185.511339689"
    ],
    [
      "110.565507283",
      "240.482362512"
    ],
    [
      "138.757688864",
      "62.871711102"
    ],
    [
      "199.537468614",
      "52.099497385"
    ],
    [
      "36.516016889",
      "166.667722503"
    ],
    [
      "125.399591429",
      "124.439245022"
    ],
    [
      "233.613444015",
      "109.775787059"
    ],
    [
      "184.438866345",
      "158.178895545"
    ],
    [
      "174.550396402",
      "229.039724510"
    ]
  ],
  "radius": "136.307910822"
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 36
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "90.335813761",
      "136.832631643"
    ],
    [
      "231.454040629",
      "228.177798577"
    ],
    [
      "166.001174790",
      "42.439368490"
    ],
    [
      "199.815905537",
      "87.431806665"
    ],
    [
      "252.363827811",
      "75.336473406"
    ],
    [
      "186.072730029",
      "17.006012309"
    ],
    [
      "7.088784139",
      "141.067893404"
    ],
    [
      "54.272236216",
      "37.792035553"
    ],
    [
      "219.540164787",
      "232.553178490"
    ],
    [
      "142.922278257",
      "262.441595335"
    ],
    [
      "239.456249624",
      "65.156714650"
    ],
    [
      "254.753865000",
      "174.030750476"
    ],
    [
      "258.920914753",
      "149.380482802"
    ],
    [
      "233.459593585",
      "158.899546112"
    ],
    [
      "66.764994203",
      "235.698118873"
    ],
    [
      "44.455264163",
      "214.006589756"
    ],
    [
      "127.013921626",
      "17.362547947"
    ],
    [
      "161.845778446",
      "20.789171735"
    ],
    [
      "87.012133895",
      "159.516347298"
    ],
    [
      "92.827096747",
      "82.629765353"
    ],
    [
      "22.902941323",
      "115.445811433"
    ],
    [
      "79.725313013",
      "199.863617856"
    ],
    [
      "176.153355069",
      "100.773753762"
    ],
    [
      "68.548778084",
      "119.876438344"
    ],
    [
      "227.928814722",
      "199.514405584"
    ],
    [
      "88.667140989",
      "36.818251864"
    ],
    [
      "46.674419197",
      "73.745489615"
    ],
    [
      "127.630125795",
      "185.511339689"
    ],
    [
      "110.565507283",
      "240.482362512"
    ],
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      "138.757688864",
      "62.871711102"
    ],
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      "199.537468614",
      "52.099497385"
    ],
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      "36.516016889",
      "166.667722503"
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      "124.439245022"
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      "109.775787059"
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      "184.438866345",
      "158.178895545"
    ],
    [
      "174.550396402",
      "229.039724510"
    ]
  ],
  "radius": "136.307910822"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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