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P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 37

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 37
目标最小化 容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好[141.78373342975, 141.78373342985]见来源署名packomania.com ↗
本站纪录141.783733431邱仲普纪录详情 ↓

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严格定义

  • 容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
  • 提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
  • 约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
  • 目标最小化容器圆半径 radius
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当前展示：本站纪录

283.567466862y0
0x283.567466862
已验证构造r = 141.783733431

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

查看来源
半径成等差的圆装入圆 n = 37 的当前纪录构型，141.783733431
构型与历史

纪录详情

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纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。
纪录保持者的求解笔记公开方法与可复现线索（点击展开）＋

从当时公开证书 141.783733434 出发，将所有数乘 10^9 转成整数，目标容器半径设为 141783733431。为 37 个圆心各引入整数偏移 dx,dy∈[-100,100]，在原证书处线性化圆内和两圆分离约束，并对圆内约束预留 2R^2 的二次项安全余量；整数 MILP 给出可行偏移。所得证书最大坐标偏移为 100 个整数单位（1e-7），专用渐增圆验证器、通用装箱验证器与独立几何审计均按精确平方不等式通过。更低的 141783733430 用半径 8 的 MRV 格点搜索限时未解，并在上述安全线性模型下不可行；后续可扩大非线性整数搜索。

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历史纪录（2 次易主）
  1. 邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    141.783733434→141.783733431
  2. 游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    141.783733435→141.783733434
ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "9.947830107",
      "165.261469562"
    ],
    [
      "70.185226078",
      "150.399893770"
    ],
    [
      "142.499046658",
      "201.744137111"
    ],
    [
      "42.505951796",
      "170.485246641"
    ],
    [
      "245.022911648",
      "230.883776251"
    ],
    [
      "271.389215395",
      "180.631852486"
    ],
    [
      "265.721290472",
      "89.945934065"
    ],
    [
      "77.512573970",
      "24.903966011"
    ],
    [
      "144.993692011",
      "9.361992974"
    ],
    [
      "218.479168101",
      "34.699967251"
    ],
    [
      "22.500734105",
      "89.366834318"
    ],
    [
      "166.764227814",
      "161.278237275"
    ],
    [
      "95.241744261",
      "261.238215824"
    ],
    [
      "121.681029978",
      "267.970533923"
    ],
    [
      "39.045822821",
      "215.354750313"
    ],
    [
      "196.452438524",
      "255.066036900"
    ],
    [
      "223.468834257",
      "236.115723931"
    ],
    [
      "25.649061800",
      "184.622392458"
    ],
    [
      "263.776189113",
      "155.700843473"
    ],
    [
      "260.977526228",
      "116.801389928"
    ],
    [
      "179.045873726",
      "92.289205077"
    ],
    [
      "69.177067226",
      "237.053953422"
    ],
    [
      "157.704812081",
      "259.495646942"
    ],
    [
      "152.107653907",
      "128.335457490"
    ],
    [
      "130.635037753",
      "172.380057108"
    ],
    [
      "115.144045338",
      "29.106318012"
    ],
    [
      "241.851208004",
      "196.139626880"
    ],
    [
      "131.465288951",
      "80.580748625"
    ],
    [
      "118.745426888",
      "225.054881773"
    ],
    [
      "98.108524125",
      "128.028891269"
    ],
    [
      "74.648231281",
      "184.337102568"
    ],
    [
      "229.329987837",
      "75.540835959"
    ],
    [
      "175.559654587",
      "38.397107736"
    ],
    [
      "34.330293067",
      "133.352164997"
    ],
    [
      "180.665074689",
      "206.180803659"
    ],
    [
      "210.668457156",
      "141.398088268"
    ],
    [
      "66.393274758",
      "69.010733405"
    ]
  ],
  "radius": "141.783733431"
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 37
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "9.947830107",
      "165.261469562"
    ],
    [
      "70.185226078",
      "150.399893770"
    ],
    [
      "142.499046658",
      "201.744137111"
    ],
    [
      "42.505951796",
      "170.485246641"
    ],
    [
      "245.022911648",
      "230.883776251"
    ],
    [
      "271.389215395",
      "180.631852486"
    ],
    [
      "265.721290472",
      "89.945934065"
    ],
    [
      "77.512573970",
      "24.903966011"
    ],
    [
      "144.993692011",
      "9.361992974"
    ],
    [
      "218.479168101",
      "34.699967251"
    ],
    [
      "22.500734105",
      "89.366834318"
    ],
    [
      "166.764227814",
      "161.278237275"
    ],
    [
      "95.241744261",
      "261.238215824"
    ],
    [
      "121.681029978",
      "267.970533923"
    ],
    [
      "39.045822821",
      "215.354750313"
    ],
    [
      "196.452438524",
      "255.066036900"
    ],
    [
      "223.468834257",
      "236.115723931"
    ],
    [
      "25.649061800",
      "184.622392458"
    ],
    [
      "263.776189113",
      "155.700843473"
    ],
    [
      "260.977526228",
      "116.801389928"
    ],
    [
      "179.045873726",
      "92.289205077"
    ],
    [
      "69.177067226",
      "237.053953422"
    ],
    [
      "157.704812081",
      "259.495646942"
    ],
    [
      "152.107653907",
      "128.335457490"
    ],
    [
      "130.635037753",
      "172.380057108"
    ],
    [
      "115.144045338",
      "29.106318012"
    ],
    [
      "241.851208004",
      "196.139626880"
    ],
    [
      "131.465288951",
      "80.580748625"
    ],
    [
      "118.745426888",
      "225.054881773"
    ],
    [
      "98.108524125",
      "128.028891269"
    ],
    [
      "74.648231281",
      "184.337102568"
    ],
    [
      "229.329987837",
      "75.540835959"
    ],
    [
      "175.559654587",
      "38.397107736"
    ],
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      "34.330293067",
      "133.352164997"
    ],
    [
      "180.665074689",
      "206.180803659"
    ],
    [
      "210.668457156",
      "141.398088268"
    ],
    [
      "66.393274758",
      "69.010733405"
    ]
  ],
  "radius": "141.783733431"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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