P82 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等圆装入正多边形 · m = 5 · n = 20

在中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形内放入 n 个互不重叠的等圆，最大化圆半径。

子题m = 5 · n = 20

目标最大化圆半径

纪录对比

圆半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.169279411748, 0.16927941175]	Paolo Amore	Packomania ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器编辑器与证书将容器统一归一化为中心 (1,1)、外接圆半径 1、首个顶点 (2,1) 的精确正 m 边形；公开得分按文献规范计算。允许接触边界。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。多边形允许任意角度独立旋转。
精度输入的十进制小数按精确有理数解析，正多边形顶点由精确代数数定义，可行性检验不设浮点容差。
目标最大化圆半径 r（容器外接圆半径固定为 1）。

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帮助理解

文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。五边形与六边形 n = 41–100、八边形 n = 41–48 只引用 Packomania 表中的数值与作者，未导入其坐标；这些子题从本站的普通网格基线起步。

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.360262417",
      "y": "1.450934997"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.360262417",
      "y": "1.112376173"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.360262417",
      "y": "0.768738997"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.534643391",
      "y": "0.478543627"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.651982231",
      "y": "0.940557585"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.677932982",
      "y": "1.568013984"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.791452521",
      "y": "1.249054125"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.826363204",
      "y": "0.650362215"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.961377059",
      "y": "0.339889453"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.990489281",
      "y": "0.946478253"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.010920092",
      "y": "1.506844859"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.164888258",
      "y": "0.655143982"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.190354963",
      "y": "1.219746959"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.244358013",
      "y": "1.752056633"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.299559096",
      "y": "0.323921140"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.363888141",
      "y": "0.929043824"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.423792884",
      "y": "1.464958733"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.498558980",
      "y": "0.597820982"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.641390788",
      "y": "1.205587900"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.697558863",
      "y": "0.871720824"
    }
  ],
  "radius": "0.169279411"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 20,
  "sides": 5
}

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.360262417",
      "y": "1.450934997"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.360262417",
      "y": "1.112376173"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.360262417",
      "y": "0.768738997"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.534643391",
      "y": "0.478543627"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.651982231",
      "y": "0.940557585"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.677932982",
      "y": "1.568013984"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.791452521",
      "y": "1.249054125"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.826363204",
      "y": "0.650362215"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.961377059",
      "y": "0.339889453"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.990489281",
      "y": "0.946478253"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.010920092",
      "y": "1.506844859"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.164888258",
      "y": "0.655143982"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.190354963",
      "y": "1.219746959"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.244358013",
      "y": "1.752056633"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.299559096",
      "y": "0.323921140"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.363888141",
      "y": "0.929043824"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.423792884",
      "y": "1.464958733"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.498558980",
      "y": "0.597820982"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.641390788",
      "y": "1.205587900"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.697558863",
      "y": "0.871720824"
    }
  ],
  "radius": "0.169279411"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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本题m=6，n=3的证明NUE_13#310 条回复38 天前