P82 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等圆装入正多边形 · m = 5 · n = 35

在中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形内放入 n 个互不重叠的等圆，最大化圆半径。

子题m = 5 · n = 35

目标最大化圆半径

纪录对比

圆半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.130170592941, 0.130170592943]	Paolo Amore	Packomania ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器编辑器与证书将容器统一归一化为中心 (1,1)、外接圆半径 1、首个顶点 (2,1) 的精确正 m 边形；公开得分按文献规范计算。允许接触边界。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。多边形允许任意角度独立旋转。
精度输入的十进制小数按精确有理数解析，正多边形顶点由精确代数数定义，可行性检验不设浮点容差。
目标最大化圆半径 r（容器外接圆半径固定为 1）。

放大编辑并提交 ↗

当前展示：起步布局

已验证构造已验证构造

帮助理解

文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。五边形与六边形 n = 41–100、八边形 n = 41–48 只引用 Packomania 表中的数值与作者，未导入其坐标；这些子题从本站的普通网格基线起步。

查看来源

构型与历史

起步布局

查看构型、求解笔记与纪录历史。

挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

ANSWER FORMAT

答案怎么写

中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.321153599",
      "y": "1.420770104"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.321153599",
      "y": "1.076955627"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.321153599",
      "y": "0.816614441"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.321153599",
      "y": "0.556273255"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.516666858",
      "y": "1.248862865"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.538635809",
      "y": "1.563875034"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.550130647",
      "y": "0.953072438"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.550130647",
      "y": "0.692731252"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.550130647",
      "y": "0.432390066"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.736173866",
      "y": "1.388842172"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.748579453",
      "y": "1.128282220"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.786234990",
      "y": "1.644324885"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.797729828",
      "y": "0.872622587"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.797729828",
      "y": "0.612281402"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.797729828",
      "y": "0.351940216"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.983773048",
      "y": "1.469292022"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.998939153",
      "y": "1.037826523"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.023191909",
      "y": "0.482110809"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.033834172",
      "y": "1.724774736"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.050021707",
      "y": "0.762794150"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.129082209",
      "y": "0.244277301"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.136797757",
      "y": "1.258671579"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.242688057",
      "y": "1.496505086"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.257387391",
      "y": "1.006488981"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.261045820",
      "y": "0.587955269"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.292749181",
      "y": "1.751987800"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.366936120",
      "y": "0.350121762"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.395245995",
      "y": "1.227334036"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.414070530",
      "y": "0.798575713"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.501136295",
      "y": "1.465167544"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.519960830",
      "y": "0.560742205"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.567095239",
      "y": "1.009196157"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.654161005",
      "y": "1.254547101"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.672985539",
      "y": "0.771362649"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.837407658",
      "y": "0.999999993"
    }
  ],
  "radius": "0.130170592"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 35,
  "sides": 5
}

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.321153599",
      "y": "1.420770104"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.321153599",
      "y": "1.076955627"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.321153599",
      "y": "0.816614441"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.321153599",
      "y": "0.556273255"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.516666858",
      "y": "1.248862865"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.538635809",
      "y": "1.563875034"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.550130647",
      "y": "0.953072438"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.550130647",
      "y": "0.692731252"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.550130647",
      "y": "0.432390066"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.736173866",
      "y": "1.388842172"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.748579453",
      "y": "1.128282220"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.786234990",
      "y": "1.644324885"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.797729828",
      "y": "0.872622587"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.797729828",
      "y": "0.612281402"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.797729828",
      "y": "0.351940216"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.983773048",
      "y": "1.469292022"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.998939153",
      "y": "1.037826523"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.023191909",
      "y": "0.482110809"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.033834172",
      "y": "1.724774736"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.050021707",
      "y": "0.762794150"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.129082209",
      "y": "0.244277301"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.136797757",
      "y": "1.258671579"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.242688057",
      "y": "1.496505086"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.257387391",
      "y": "1.006488981"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.261045820",
      "y": "0.587955269"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.292749181",
      "y": "1.751987800"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.366936120",
      "y": "0.350121762"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.395245995",
      "y": "1.227334036"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.414070530",
      "y": "0.798575713"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.501136295",
      "y": "1.465167544"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.519960830",
      "y": "0.560742205"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.567095239",
      "y": "1.009196157"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.654161005",
      "y": "1.254547101"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.672985539",
      "y": "0.771362649"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.837407658",
      "y": "0.999999993"
    }
  ],
  "radius": "0.130170592"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

本题m=6，n=3的证明NUE_13#310 条回复38 天前