P82 · 装箱与覆盖 · 经典问题

等圆装入正多边形

已验证构造已验证构造

m = 5 · n = 6当前纪录 · 打开子题

把 n 个等圆放入中心 (1,1)、外接圆半径 1、首个顶点 (2,1) 的真正正 m 边形，最大化圆半径。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到中心 (1,1)、外接圆半径 1、首个顶点 (2,1) 的真正正 m 边形；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标圆半径 r，越大越好；容器外接圆半径固定为 1。

帮助理解

外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

查看来源

逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

每个 n 都是一道独立的子题，各有各的纪录和页面。选择任意一格查看当前构造，或提交更好的答案。

答案来源Packomania (author unspecified)

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 2

当前纪录(1+√5)√(10+2√5)/(4(1+√5+√(10+2√5)))

已证明最优

答案来源Packomania (author unspecified)

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 3

当前纪录0.389795792已知最好 0.389795792433

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 4

当前纪录0.354680462已知最好 0.354680462504

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 5

当前纪录0.340440645已知最好 0.340440645254

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 6

当前纪录0.309016994已知最好 0.309016994375

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 7

当前纪录0.277511094已知最好 0.277511095117

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 8

当前纪录0.257541824已知最好 0.257541824500

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 9

当前纪录0.243640224已知最好 0.243640224399

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 10

当前纪录0.230721507已知最好 0.230721507966

当前纪录0.224333592已知最好 0.224333593340

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 12

当前纪录0.21738464已知最好 0.217384640521

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 13

当前纪录0.207999994已知最好 0.207999994722

当前纪录0.202386815已知最好 0.202386816023

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 15

当前纪录0.197735767已知最好 0.197735768366

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 16

当前纪录0.191785608已知最好 0.191785609135

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 17

当前纪录0.183126736已知最好 0.183126736787

当前纪录0.178473321已知最好 0.178473321196

当前纪录0.173441903已知最好 0.173441904330

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 20

当前纪录0.169279411已知最好 0.169279411749

当前纪录0.165404018已知最好 0.165404018640

当前纪录0.161673301已知最好 0.161673301786

当前纪录0.158923366已知最好 0.158923367389

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 24

当前纪录0.156027297已知最好 0.156027298450

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 25

当前纪录0.15312221已知最好 0.153122210789

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 26

当前纪录0.150683336已知最好 0.150683336700

当前纪录0.148137584已知最好 0.148137584795

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 28

当前纪录0.145444423已知最好 0.145444423784

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 29

当前纪录0.143333012已知最好 0.143333013135

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 30

当前纪录0.141698173已知最好 0.141698173815

当前纪录0.138616361已知最好 0.138616362210

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 32

当前纪录0.13579361已知最好 0.135793611068

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 33

当前纪录0.134134799已知最好 0.134134799538

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 34

当前纪录0.131960534已知最好 0.131960534658

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 5 · n = 35

当前纪录0.130170592已知最好 0.130170592942

当前纪录0.128215137已知最好 0.128215138245

当前纪录0.126679668已知最好 0.126679668746

当前纪录0.125056797已知最好 0.125056798044

当前纪录0.12418574已知最好 0.124185741467

当前纪录0.122413791已知最好 0.122413791780

答案来源Packomania (author unspecified)

答案来源Packomania (author unspecified)

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 3

当前纪录0.433012701已知最好 0.433012701892

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 4

当前纪录0.375015221已知最好 0.375015221341

难

答案来源Shahriar Manzoor

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 5

当前纪录0.33340497已知最好 0.333404971008

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 6

当前纪录0.316987297已知最好 0.316987298108

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 7

当前纪录0.316987297已知最好 0.316987298108

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 8

当前纪录0.26958537已知最好 0.269585370786

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 9

当前纪录0.249261972已知最好 0.249261972966

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 10

当前纪录0.242756322已知最好 0.242756322541

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 11

当前纪录0.232050807已知最好 0.232050807569

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 12

当前纪录0.232050807已知最好 0.232050807569

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 13

当前纪录0.21650635已知最好 0.216506350946

当前纪录0.214290684已知最好 0.214290684433

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 15

当前纪录0.20155921已知最好 0.201559210543

当前纪录0.200025786已知最好 0.200025787346

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 17

当前纪录0.194813312已知最好 0.194813312769

当前纪录0.19399769已知最好 0.193997690565

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 19

当前纪录0.19399769已知最好 0.193997690565

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 20

当前纪录0.17615287已知最好 0.176152871147

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 21

当前纪录0.175149749已知最好 0.175149750125

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 22

当前纪录0.168017815已知最好 0.168017815756

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 23

当前纪录0.166338331已知最好 0.166338331558

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 24

当前纪录0.163462238已知最好 0.163462238508

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 25

当前纪录0.159724476已知最好 0.159724477011

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 26

当前纪录0.158493648已知最好 0.158493649054

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 27

当前纪录0.158493648已知最好 0.158493649054

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 28

当前纪录0.15166001已知最好 0.151660010858

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 29

当前纪录0.150002434已知最好 0.150002435355

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 30

当前纪录0.150002434已知最好 0.150002435355

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 31

当前纪录0.144498617已知最好 0.144498618555

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 32

当前纪录0.142897922已知最好 0.142897923362

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 33

当前纪录0.142870298已知最好 0.142870299182

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 34

当前纪录0.140313381已知最好 0.140313381692

当前纪录0.139827762已知最好 0.139827762740

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 36

当前纪录0.139768253已知最好 0.139768253701

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 37

当前纪录0.139768253已知最好 0.139768253701

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 38

当前纪录0.131624251已知最好 0.131624252390

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 39

当前纪录0.129882646已知最好 0.129882647187

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 6 · n = 40

当前纪录0.129711778已知最好 0.129711778826

难

答案来源Eckard Specht

答案来源Packomania (author unspecified)

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 2

当前纪录√(2+√2)/(2+√(2+√2))

已证明最优

答案来源Packomania (author unspecified)

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 3

当前纪录0.435387433已知最好 0.435387434219

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 4

当前纪录0.400543816已知最好 0.400543816310

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 5

当前纪录0.348203325已知最好 0.348203325454

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 6

当前纪录0.317727657已知最好 0.317727658062

当前纪录0.310945216已知最好 0.310945216831

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 8

当前纪录0.285852433已知最好 0.285852433677

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 9

当前纪录0.27059805已知最好 0.270598050073

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 10

当前纪录0.251932403已知最好 0.251932403490

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 11

当前纪录0.239556873已知最好 0.239556874251

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 12

当前纪录0.234100964已知最好 0.234100964947

当前纪录0.223537234已知最好 0.223537235211

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 14

当前纪录0.219348902已知最好 0.219348902644

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 15

当前纪录0.21023689已知最好 0.210236890635

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 16

当前纪录0.2042866已知最好 0.204286601358

当前纪录0.198194124已知最好 0.198194125496

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 18

当前纪录0.193696359已知最好 0.193696359493

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 19

当前纪录0.191508243已知最好 0.191508243904

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 20

当前纪录0.185530744已知最好 0.185530744908

当前纪录0.180670259已知最好 0.180670260259

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 22

当前纪录0.17550094已知最好 0.175500940767

当前纪录0.172561559已知最好 0.172561559662

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 24

当前纪录0.168652863已知最好 0.168652864098

当前纪录0.16645089已知最好 0.166450891366

当前纪录0.163606135已知最好 0.163606136259

当前纪录0.161395047已知最好 0.161395047685

当前纪录0.160404294已知最好 0.160404294689

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 29

当前纪录0.154929848已知最好 0.154929849312

难

答案来源Stefan Zorcic

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 30

当前纪录0.152319578已知最好 0.152319579409

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 31

当前纪录0.149878152已知最好 0.149878153406

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 32

当前纪录0.147282442已知最好 0.147282442434

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 33

当前纪录0.145306599已知最好 0.145306599845

当前纪录0.143477531已知最好 0.143477532364

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 35

当前纪录0.142256368已知最好 0.142256369270

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 36

当前纪录0.139934446已知最好 0.139934447382

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 37

当前纪录0.138229583已知最好 0.138229583693

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 38

当前纪录0.13609798已知最好 0.136097981333

当前纪录0.134961309已知最好 0.134961309874

难

答案来源Eckard Specht

解题方式公开参考构造

子题m = 8 · n = 40

当前纪录0.132682453已知最好 0.132682454149

难

答案来源Paolo Amore

解题方式公开参考构造

引用与数据

这一题族的全部子题、权威分数、证明状态、坐标与来源，都在下面这个稳定地址里，以 CC BY 4.0 发布。分数会随纪录变化，引用时请一并记录文件里的 generatedAt。

GET https://minmaxarena.com/data/circles-in-regular-polygons.json

引用请指向 2026-08 冻结版：纪录会变，冻结版永远不变，所以引文十年后仍可核对。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-08/circles-in-regular-polygons.json

BibTeX（点开复制）

@misc{minmaxarena-circles-in-regular-polygons-2026-08,
  title  = {{Equal circles in regular polygons} (P82)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-08 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-08/circles-in-regular-polygons.json},
  license = {CC BY 4.0}
}

DISCUSSION

讨论区

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