P82 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等圆装入正多边形 · m = 8 · n = 40

在中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形内放入 n 个互不重叠的等圆，最大化圆半径。

子题m = 8 · n = 40

目标最大化圆半径

纪录对比

圆半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.132682454148, 0.13268245415]	Paolo Amore	Packomania ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器编辑器与证书将容器统一归一化为中心 (1,1)、外接圆半径 1、首个顶点 (2,1) 的精确正 m 边形；公开得分按文献规范计算。允许接触边界。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。多边形允许任意角度独立旋转。
精度输入的十进制小数按精确有理数解析，正多边形顶点由精确代数数定义，可行性检验不设浮点容差。
目标最大化圆半径 r（容器外接圆半径固定为 1）。

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帮助理解

文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。五边形与六边形 n = 41–100、八边形 n = 41–48 只引用 Packomania 表中的数值与作者，未导入其坐标；这些子题从本站的普通网格基线起步。

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.583604542",
      "y": "0.316091100"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.828769749",
      "y": "0.214540346"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.364742185",
      "y": "0.466150432"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.092102790",
      "y": "0.181764678"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.263191431",
      "y": "0.711315639"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.745148463",
      "y": "0.526619236"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.991181600",
      "y": "0.427189714"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.526286106",
      "y": "0.676678568"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.255723708",
      "y": "0.390682676"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.519148501",
      "y": "0.358652804"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.161176095",
      "y": "0.957602447"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.424178294",
      "y": "0.922270053"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.906135326",
      "y": "0.737573649"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.152168463",
      "y": "0.638144127"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.687272969",
      "y": "0.887632982"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.415169645",
      "y": "0.602804168"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.678594439",
      "y": "0.570774296"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.322720016",
      "y": "1.168130583"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.585722215",
      "y": "1.132798189"
    },
    {
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      "x": "1.067679246",
      "y": "0.948101786"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.313712384",
      "y": "0.848672263"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.848816889",
      "y": "1.098161118"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.577051145",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.323174004",
      "y": "1.433495103"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.587175464",
      "y": "1.398159118"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.273953774",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.822213262",
      "y": "0.917500808"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.536752796",
      "y": "1.078229798"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.850270139",
      "y": "1.363522047"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.113327574",
      "y": "1.328582796"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.485624710",
      "y": "1.643324325"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.781914913",
      "y": "1.179788012"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.748719385",
      "y": "1.608687254"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.433791445",
      "y": "1.326869425"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.011814060",
      "y": "1.574050183"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.274908735",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.680364159",
      "y": "1.424953220"
    },
    {
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      "x": "0.910263306",
      "y": "1.819215391"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.520322016",
      "y": "1.640797055"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.173357981",
      "y": "1.784578320"
    }
  ],
  "radius": "0.132682453"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 40,
  "sides": 8
}

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.583604542",
      "y": "0.316091100"
    },
    {
      "turn": "0",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.364742185",
      "y": "0.466150432"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.092102790",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.263191431",
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    },
    {
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      "x": "0.745148463",
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    },
    {
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    {
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      "x": "0.526286106",
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      "x": "1.255723708",
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    },
    {
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      "x": "1.519148501",
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    },
    {
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    },
    {
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      "y": "0.922270053"
    },
    {
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      "x": "0.906135326",
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    },
    {
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      "x": "1.152168463",
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    {
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    {
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      "x": "0.585722215",
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      "x": "1.313712384",
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    },
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      "x": "0.848816889",
      "y": "1.098161118"
    },
    {
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      "x": "1.577051145",
      "y": "0.815942594"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.323174004",
      "y": "1.433495103"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.587175464",
      "y": "1.398159118"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.273953774",
      "y": "1.115042954"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.822213262",
      "y": "0.917500808"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.536752796",
      "y": "1.078229798"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.850270139",
      "y": "1.363522047"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.113327574",
      "y": "1.328582796"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.485624710",
      "y": "1.643324325"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.781914913",
      "y": "1.179788012"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.748719385",
      "y": "1.608687254"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.433791445",
      "y": "1.326869425"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.011814060",
      "y": "1.574050183"
    },
    {
      "turn": "0",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.680364159",
      "y": "1.424953220"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.910263306",
      "y": "1.819215391"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.520322016",
      "y": "1.640797055"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.173357981",
      "y": "1.784578320"
    }
  ],
  "radius": "0.132682453"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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