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P82 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等圆装入正多边形 · m = 6 · n = 31

在中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形内放入 n 个互不重叠的等圆，最大化圆半径。

子题m = 6 · n = 31
目标最大化 圆半径

纪录对比

圆半径 · 越大越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好[0.144498618554, 0.144498618556]Eckard SpechtPackomania ↗
本站纪录0.144498618w33d纪录详情 ↓

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严格定义

  • 容器编辑器与证书将容器统一归一化为中心 (1,1)、外接圆半径 1、首个顶点 (2,1) 的精确正 m 边形；公开得分按文献规范计算。允许接触边界。
  • 提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
  • 约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。多边形允许任意角度独立旋转。
  • 精度输入的十进制小数按精确有理数解析，正多边形顶点由精确代数数定义，可行性检验不设浮点容差。
  • 目标最大化圆半径 r（容器外接圆半径固定为 1）。
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帮助理解

文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。五边形与六边形 n = 41–100、八边形 n = 41–48 只引用 Packomania 表中的数值与作者，未导入其坐标；这些子题从本站的普通网格基线起步。

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等圆装入正多边形 m = 6 · n = 31 的当前纪录构型，0.144498618
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纪录保持者w33d
解题方式AI · Anthropic: Claude Fable 5.1
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历史纪录（1 次易主）
  1. w33dAI · Anthropic: Claude Fable 5.1
    0.144498617→0.144498618
ANSWER FORMAT

答案怎么写

中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.642108169",
      "y": "0.278473215"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.931105406",
      "y": "0.278473215"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.220102643",
      "y": "0.278473215"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.484255699",
      "y": "0.395701905"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.455849870",
      "y": "0.499442102"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.786606787",
      "y": "0.528752164"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.075604024",
      "y": "0.528752164"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.339757081",
      "y": "0.645980854"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.628754318",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.311351251",
      "y": "0.749721051"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.600348488",
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    },
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      "turn": "0",
      "x": "0.931105406",
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    },
    {
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.484255699",
      "y": "0.896259803"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.773252937",
      "y": "0.896259803"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.166852633",
      "y": "1.000000000"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.455849870",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.744847107",
      "y": "1.000000000"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.150232234",
      "y": "1.181727913"
    },
    {
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      "x": "1.439229471",
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    {
      "turn": "0",
      "x": "1.728226708",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.311351251",
      "y": "1.250278949"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.600348488",
      "y": "1.250278949"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.885455103",
      "y": "1.297540150"
    },
    {
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      "x": "1.583728089",
      "y": "1.432006862"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.262895384",
      "y": "1.452626101"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.455849870",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.897508465",
      "y": "1.586285919"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.439229471",
      "y": "1.682285811"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.642108169",
      "y": "1.721526785"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.152908761",
      "y": "1.721526785"
    }
  ],
  "radius": "0.144498618"
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 31,
  "sides": 6
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.642108169",
      "y": "0.278473215"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.931105406",
      "y": "0.278473215"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.220102643",
      "y": "0.278473215"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.484255699",
      "y": "0.395701905"
    },
    {
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      "x": "0.455849870",
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    },
    {
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      "x": "1.075604024",
      "y": "0.528752164"
    },
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    {
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    },
    {
      "turn": "0",
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      "y": "0.779031113"
    },
    {
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    },
    {
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      "x": "1.484255699",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.773252937",
      "y": "0.896259803"
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    {
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      "turn": "0",
      "x": "0.455849870",
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    },
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      "x": "1.439229471",
      "y": "1.682285811"
    },
    {
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      "x": "0.642108169",
      "y": "1.721526785"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.152908761",
      "y": "1.721526785"
    }
  ],
  "radius": "0.144498618"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

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