P82 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等圆装入正多边形 · m = 8 · n = 21

在中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形内放入 n 个互不重叠的等圆，最大化圆半径。

子题m = 8 · n = 21

目标最大化圆半径

纪录对比

圆半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.180670260258, 0.18067026026]	Eckard Specht	Packomania ↗
本站纪录	0.18067026	w33d	纪录详情 ↓

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严格定义

容器编辑器与证书将容器统一归一化为中心 (1,1)、外接圆半径 1、首个顶点 (2,1) 的精确正 m 边形；公开得分按文献规范计算。允许接触边界。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。多边形允许任意角度独立旋转。
精度输入的十进制小数按精确有理数解析，正多边形顶点由精确代数数定义，可行性检验不设浮点容差。
目标最大化圆半径 r（容器外接圆半径固定为 1）。

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帮助理解

文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。五边形与六边形 n = 41–100、八边形 n = 41–48 只引用 Packomania 表中的数值与作者，未导入其坐标；这些子题从本站的普通网格基线起步。

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构型与历史

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纪录保持者w33d

解题方式AI · Anthropic: Claude Fable 5.1

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历史纪录（1 次易主）

w33dAI · Anthropic: Claude Fable 5.1
0.180670259→0.18067026
2026-09-15

ANSWER FORMAT

答案怎么写

中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.678086425",
      "y": "0.328897049"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.035288788",
      "y": "0.211460335"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.385631727",
      "y": "0.541116798"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.419083975",
      "y": "0.369146347"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.247352696",
      "y": "0.874951909"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.843509747",
      "y": "0.650147880"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.204715127",
      "y": "0.660029431"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.605601898",
      "y": "0.922116311"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.656107992",
      "y": "0.641885393"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.292270680",
      "y": "1.233489698"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.950255540",
      "y": "1.055142567"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.441739144",
      "y": "0.932768477"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.650519882",
      "y": "1.280654100"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.799006211",
      "y": "0.986872213"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.430549711",
      "y": "1.567324809"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.312796330",
      "y": "1.270319543"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.983913101",
      "y": "1.419995170"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.670063397",
      "y": "1.324423279"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.763942929",
      "y": "1.706665879"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.122192131",
      "y": "1.753830281"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.456027242",
      "y": "1.615551251"
    }
  ],
  "radius": "0.180670260"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 21,
  "sides": 8
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.678086425",
      "y": "0.328897049"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.035288788",
      "y": "0.211460335"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.385631727",
      "y": "0.541116798"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.419083975",
      "y": "0.369146347"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.247352696",
      "y": "0.874951909"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.843509747",
      "y": "0.650147880"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.204715127",
      "y": "0.660029431"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.605601898",
      "y": "0.922116311"
    },
    {
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      "x": "1.656107992",
      "y": "0.641885393"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.292270680",
      "y": "1.233489698"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.950255540",
      "y": "1.055142567"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.441739144",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.650519882",
      "y": "1.280654100"
    },
    {
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      "x": "1.799006211",
      "y": "0.986872213"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.430549711",
      "y": "1.567324809"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.312796330",
      "y": "1.270319543"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.983913101",
      "y": "1.419995170"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.670063397",
      "y": "1.324423279"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.763942929",
      "y": "1.706665879"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.122192131",
      "y": "1.753830281"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.456027242",
      "y": "1.615551251"
    }
  ],
  "radius": "0.180670260"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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本题m=6，n=3的证明NUE_13#310 条回复38 天前