P82 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等圆装入正多边形 · m = 8 · n = 27

在中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形内放入 n 个互不重叠的等圆，最大化圆半径。

子题m = 8 · n = 27

目标最大化圆半径

纪录对比

圆半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.161395047684, 0.161395047686]	Paolo Amore	Packomania ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器编辑器与证书将容器统一归一化为中心 (1,1)、外接圆半径 1、首个顶点 (2,1) 的精确正 m 边形；公开得分按文献规范计算。允许接触边界。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。多边形允许任意角度独立旋转。
精度输入的十进制小数按精确有理数解析，正多边形顶点由精确代数数定义，可行性检验不设浮点容差。
目标最大化圆半径 r（容器外接圆半径固定为 1）。

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帮助理解

文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。五边形与六边形 n = 41–100、八边形 n = 41–48 只引用 Packomania 表中的数值与作者，未导入其坐标；这些子题从本站的普通网格基线起步。

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.449874147",
      "y": "0.402562330"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.966545494",
      "y": "0.188550051"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.769922565",
      "y": "0.444543937"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.303081062",
      "y": "0.690043175"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.273623534",
      "y": "0.288031320"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.623129480",
      "y": "0.732024781"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.077000606",
      "y": "0.544025206"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.179554640",
      "y": "0.988262337"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.571842696",
      "y": "0.411557741"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.930207521",
      "y": "0.831506050"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.499603059",
      "y": "1.030243944"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.375219768",
      "y": "0.667551627"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.294733431",
      "y": "1.289803863"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.703621050",
      "y": "0.706223503"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.888074959",
      "y": "1.151534631"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.186294121",
      "y": "1.028008210"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.619158561",
      "y": "1.330077110"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.502695327",
      "y": "0.964104199"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.422656401",
      "y": "1.586163710"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.822723908",
      "y": "1.006236761"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.011601380",
      "y": "1.449753794"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.309820543",
      "y": "1.326227372"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.742684983",
      "y": "1.628296273"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.626221749",
      "y": "1.262323361"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.267687981",
      "y": "1.646255954"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.998771583",
      "y": "1.824798432"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.584089187",
      "y": "1.582351943"
    }
  ],
  "radius": "0.161395047"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 27,
  "sides": 8
}

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.449874147",
      "y": "0.402562330"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.966545494",
      "y": "0.188550051"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.769922565",
      "y": "0.444543937"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.303081062",
      "y": "0.690043175"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.273623534",
      "y": "0.288031320"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.623129480",
      "y": "0.732024781"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.077000606",
      "y": "0.544025206"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.179554640",
      "y": "0.988262337"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.571842696",
      "y": "0.411557741"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.930207521",
      "y": "0.831506050"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.499603059",
      "y": "1.030243944"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.375219768",
      "y": "0.667551627"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.294733431",
      "y": "1.289803863"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.703621050",
      "y": "0.706223503"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.888074959",
      "y": "1.151534631"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.186294121",
      "y": "1.028008210"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.619158561",
      "y": "1.330077110"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.502695327",
      "y": "0.964104199"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.422656401",
      "y": "1.586163710"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.822723908",
      "y": "1.006236761"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.011601380",
      "y": "1.449753794"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.309820543",
      "y": "1.326227372"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.742684983",
      "y": "1.628296273"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.626221749",
      "y": "1.262323361"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.267687981",
      "y": "1.646255954"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.998771583",
      "y": "1.824798432"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.584089187",
      "y": "1.582351943"
    }
  ],
  "radius": "0.161395047"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

本题m=6，n=3的证明NUE_13#310 条回复38 天前