P82 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等圆装入正多边形 · m = 5 · n = 40

在中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形内放入 n 个互不重叠的等圆，最大化圆半径。

子题m = 5 · n = 40

目标最大化圆半径

纪录对比

圆半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.122413791779, 0.122413791781]	Paolo Amore	Packomania ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器编辑器与证书将容器统一归一化为中心 (1,1)、外接圆半径 1、首个顶点 (2,1) 的精确正 m 边形；公开得分按文献规范计算。允许接触边界。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。多边形允许任意角度独立旋转。
精度输入的十进制小数按精确有理数解析，正多边形顶点由精确代数数定义，可行性检验不设浮点容差。
目标最大化圆半径 r（容器外接圆半径固定为 1）。

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帮助理解

文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。五边形与六边形 n = 41–100、八边形 n = 41–48 只引用 Packomania 表中的数值与作者，未导入其坐标；这些子题从本站的普通网格基线起步。

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.313396797",
      "y": "1.498846427"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.313396797",
      "y": "1.254018843"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.313396797",
      "y": "1.007561824"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.313396797",
      "y": "0.739156533"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.332180008",
      "y": "0.495050539"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.518165437",
      "y": "0.873359179"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.524951235",
      "y": "1.130790333"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.525423704",
      "y": "1.376432635"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.551626707",
      "y": "0.603603253"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.625004054",
      "y": "1.600093762"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.665357132",
      "y": "0.386794729"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.736978142",
      "y": "1.253204125"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.736978142",
      "y": "1.008376542"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.736985594",
      "y": "0.763548958"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.836558491",
      "y": "1.476865252"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.850716019",
      "y": "0.546740434"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.906660781",
      "y": "0.308390420"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.935277726",
      "y": "1.700907789"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.954017992",
      "y": "1.139915781"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.954017992",
      "y": "0.895088197"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.053598342",
      "y": "1.363576907"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.059716496",
      "y": "0.674252575"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.115661259",
      "y": "0.435902561"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.152317577",
      "y": "1.587619444"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.197504385",
      "y": "1.165507232"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.197504385",
      "y": "0.920679648"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.209796441",
      "y": "0.209895674"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.261317286",
      "y": "1.806844464"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.294106045",
      "y": "0.603527154"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.296984488",
      "y": "1.390104811"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.392802918",
      "y": "0.372527697"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.405984197",
      "y": "1.609329830"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.418157278",
      "y": "0.814600215"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.440890531",
      "y": "1.192035135"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.536708961",
      "y": "0.570597372"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.549890240",
      "y": "1.411260154"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.584796574",
      "y": "0.993965459"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.680615004",
      "y": "0.768667048"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.693796283",
      "y": "1.213190478"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.847200529",
      "y": "1.001869181"
    }
  ],
  "radius": "0.122413791"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 40,
  "sides": 5
}

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.313396797",
      "y": "1.498846427"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.313396797",
      "y": "1.254018843"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.313396797",
      "y": "1.007561824"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.313396797",
      "y": "0.739156533"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.332180008",
      "y": "0.495050539"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.518165437",
      "y": "0.873359179"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.524951235",
      "y": "1.130790333"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.525423704",
      "y": "1.376432635"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.551626707",
      "y": "0.603603253"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.625004054",
      "y": "1.600093762"
    },
    {
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      "x": "0.665357132",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.736978142",
      "y": "1.253204125"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.736978142",
      "y": "1.008376542"
    },
    {
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      "x": "0.736985594",
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      "x": "0.850716019",
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    {
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    },
    {
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      "x": "0.954017992",
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    {
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      "x": "0.954017992",
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    },
    {
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      "x": "1.053598342",
      "y": "1.363576907"
    },
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      "x": "1.059716496",
      "y": "0.674252575"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.115661259",
      "y": "0.435902561"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.152317577",
      "y": "1.587619444"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.197504385",
      "y": "1.165507232"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.197504385",
      "y": "0.920679648"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.209796441",
      "y": "0.209895674"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.261317286",
      "y": "1.806844464"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.294106045",
      "y": "0.603527154"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.296984488",
      "y": "1.390104811"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.392802918",
      "y": "0.372527697"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.405984197",
      "y": "1.609329830"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.418157278",
      "y": "0.814600215"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.440890531",
      "y": "1.192035135"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.536708961",
      "y": "0.570597372"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.549890240",
      "y": "1.411260154"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.584796574",
      "y": "0.993965459"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.680615004",
      "y": "0.768667048"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.693796283",
      "y": "1.213190478"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.847200529",
      "y": "1.001869181"
    }
  ],
  "radius": "0.122413791"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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