P82 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等圆装入正多边形 · m = 5 · n = 30

把 n 个等圆放入中心 (1,1)、外接圆半径 1、首个顶点 (2,1) 的真正正 m 边形，最大化圆半径。

子题m = 5 · n = 30

目标最大化圆半径

已知最好（未证明）0.141698173815来源精度区间：0.141698173814–0.141698173816（区间内视为追平）本站展示证书 0.141698173Packomania（Eckard Specht 编录），m=5、n=30。Paolo Amore, Circle packing in regular polygons , Phys. Fluids 35 , 027130 (2023). 坐标来自公开下载文件，经本站归一化、九位小数化和精确验证；网页目标与复现证书分别保存。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到中心 (1,1)、外接圆半径 1、首个顶点 (2,1) 的真正正 m 边形；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标圆半径 r，越大越好；容器外接圆半径固定为 1。

放大来摆，然后提交 ↗

已验证构造已验证构造

帮助理解

外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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当前第一名

0.141698173

圆半径

答案来源Paolo Amore

解题方式公开参考构造

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

中心 (1,1)、外接圆半径 1、首个顶点 (2,1) 的真正正 m 边形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.332681179",
      "y": "1.212616721"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.332681179",
      "y": "0.879464334"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.332681179",
      "y": "0.546311947"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.362304164",
      "y": "1.494460594"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.561953641",
      "y": "1.046040528"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.561953641",
      "y": "0.712888140"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.591576626",
      "y": "1.327884400"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.591576626",
      "y": "0.431044267"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.679150913",
      "y": "1.597410343"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.791226102",
      "y": "0.879464334"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.820849087",
      "y": "1.161308207"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.820849087",
      "y": "0.597620461"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.908423374",
      "y": "1.430834150"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.908423374",
      "y": "0.328094518"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.995997662",
      "y": "1.700360093"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.050121548",
      "y": "0.764196655"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.098052544",
      "y": "1.220229620"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.137695836",
      "y": "0.494670712"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.185626832",
      "y": "1.489755564"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.225270123",
      "y": "0.225144769"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.239750718",
      "y": "0.974801184"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.273201120",
      "y": "1.759281507"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.327325006",
      "y": "0.705275241"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.381448892",
      "y": "1.220229620"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.414899293",
      "y": "0.435749298"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.469023180",
      "y": "1.489755564"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.523147066",
      "y": "0.974801184"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.610721353",
      "y": "0.705275241"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.664845240",
      "y": "1.220229620"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.806543413",
      "y": "0.974801184"
    }
  ],
  "radius": "0.141698173"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 30,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.332681179",
      "y": "1.212616721"
    },
    {
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      "x": "0.332681179",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.332681179",
      "y": "0.546311947"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.362304164",
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    {
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    {
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      "x": "0.591576626",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.679150913",
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    },
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    },
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      "x": "0.908423374",
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    },
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    },
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      "y": "0.764196655"
    },
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      "x": "1.098052544",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.137695836",
      "y": "0.494670712"
    },
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      "x": "1.185626832",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.225270123",
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    {
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      "x": "1.273201120",
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    },
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      "x": "1.523147066",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.610721353",
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    },
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.806543413",
      "y": "0.974801184"
    }
  ],
  "radius": "0.141698173"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

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讨论区

聊思路、贴方法、问为什么卡住。所有登录用户都可以发帖；发言公开署名，与纪录使用同一个名字，署名后的 #编号是账号注册序号，冒不了名。新发言经自动审核后公开。

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