P82 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等圆装入正多边形 · m = 5 · n = 21

在中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形内放入 n 个互不重叠的等圆，最大化圆半径。

子题m = 5 · n = 21

目标最大化圆半径

纪录对比

圆半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.165404018639, 0.165404018641]	Paolo Amore	Packomania ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器编辑器与证书将容器统一归一化为中心 (1,1)、外接圆半径 1、首个顶点 (2,1) 的精确正 m 边形；公开得分按文献规范计算。允许接触边界。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。多边形允许任意角度独立旋转。
精度输入的十进制小数按精确有理数解析，正多边形顶点由精确代数数定义，可行性检验不设浮点容差。
目标最大化圆半径 r（容器外接圆半径固定为 1）。

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帮助理解

文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。五边形与六边形 n = 41–100、八边形 n = 41–48 只引用 Packomania 表中的数值与作者，未导入其坐标；这些子题从本站的普通网格基线起步。

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.356387024",
      "y": "1.467612198"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.356387024",
      "y": "0.863195839"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.356387024",
      "y": "0.532387802"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.490938775",
      "y": "1.165404019"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.671004164",
      "y": "1.569837504"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.685382861",
      "y": "0.897774695"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.685382861",
      "y": "0.566966657"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.805555914",
      "y": "1.267629324"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.931221142",
      "y": "0.345612875"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.000000000",
      "y": "1.535258648"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.000000000",
      "y": "1.000000000"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.000000000",
      "y": "0.669191963"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.194444086",
      "y": "1.267629324"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.245838281",
      "y": "1.756612431"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.245838281",
      "y": "0.243387569"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.314617139",
      "y": "0.897774695"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.314617139",
      "y": "0.566966657"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.440282367",
      "y": "1.488983107"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.509061225",
      "y": "1.165404019"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.601105304",
      "y": "0.732370676"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.795549389",
      "y": "1.000000000"
    }
  ],
  "radius": "0.165404018"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 21,
  "sides": 5
}

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.356387024",
      "y": "1.467612198"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.356387024",
      "y": "0.863195839"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.356387024",
      "y": "0.532387802"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.490938775",
      "y": "1.165404019"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.671004164",
      "y": "1.569837504"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.685382861",
      "y": "0.897774695"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.685382861",
      "y": "0.566966657"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.805555914",
      "y": "1.267629324"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.931221142",
      "y": "0.345612875"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.000000000",
      "y": "1.535258648"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.000000000",
      "y": "1.000000000"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.000000000",
      "y": "0.669191963"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.194444086",
      "y": "1.267629324"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.245838281",
      "y": "1.756612431"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.245838281",
      "y": "0.243387569"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.314617139",
      "y": "0.897774695"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.314617139",
      "y": "0.566966657"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.440282367",
      "y": "1.488983107"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.509061225",
      "y": "1.165404019"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.601105304",
      "y": "0.732370676"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.795549389",
      "y": "1.000000000"
    }
  ],
  "radius": "0.165404018"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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本题m=6，n=3的证明NUE_13#310 条回复38 天前