P82 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等圆装入正多边形 · m = 5 · n = 64

在中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形内放入 n 个互不重叠的等圆，最大化圆半径。

子题m = 5 · n = 64

目标最大化圆半径

纪录对比

圆半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.097834421787, 0.097834421789]	Eckard Specht	Packomania ↗
本站纪录	0.097834421	NUE_13	纪录详情 ↓

本站纪录尚未确认达到或超越此参考纪录。

严格定义

容器编辑器与证书将容器统一归一化为中心 (1,1)、外接圆半径 1、首个顶点 (2,1) 的精确正 m 边形；公开得分按文献规范计算。允许接触边界。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。多边形允许任意角度独立旋转。
精度输入的十进制小数按精确有理数解析，正多边形顶点由精确代数数定义，可行性检验不设浮点容差。
目标最大化圆半径 r（容器外接圆半径固定为 1）。

挑战这个纪录 ↗

当前展示：本站纪录

已验证构造已验证构造

帮助理解

文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。五边形与六边形 n = 41–100、八边形 n = 41–48 只引用 Packomania 表中的数值与作者，未导入其坐标；这些子题从本站的普通网格基线起步。

查看来源

构型与历史

纪录详情

查看构型、求解笔记与纪录历史。

纪录保持者NUE_13

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

纪录保持者暂未分享求解过程。

历史纪录（2 次易主）

NUE_13AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
0.097834419→0.097834421
2026-11-01
NUE_13AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
0.051136364→0.097834419
2026-10-23

ANSWER FORMAT

答案怎么写

中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.400931216",
      "y": "0.341898416"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.515942476",
      "y": "0.500197836"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.630953737",
      "y": "0.658497256"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.745964997",
      "y": "0.816796675"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.876254600",
      "y": "1.000002892"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.270774821",
      "y": "0.166651665"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.206334267",
      "y": "0.362351380"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.321345527",
      "y": "0.520650799"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.436356788",
      "y": "0.678950219"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.551368048",
      "y": "0.837249639"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.666379309",
      "y": "0.995549059"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.755888885",
      "y": "1.169544266"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.059668980",
      "y": "0.232830764"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.356771099",
      "y": "0.857702602"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.230706185",
      "y": "0.694060159"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.560409494",
      "y": "1.160935883"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.018987140",
      "y": "0.424223774"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.873576851",
      "y": "0.293295762"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.629003006",
      "y": "1.344187695"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.400291532",
      "y": "1.048470179"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.050721487",
      "y": "0.617302067"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.162086340",
      "y": "0.877302112"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.832895011",
      "y": "0.484688771"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.434914216",
      "y": "1.319371614"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.687484722",
      "y": "0.353760760"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.205606773",
      "y": "1.068069688"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.513991746",
      "y": "1.502487114"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.982101641",
      "y": "0.800544020"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.248822087",
      "y": "1.258906616"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.827747370",
      "y": "0.680289891"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.018424370",
      "y": "1.010146136"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.646802882",
      "y": "0.545153769"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.319902956",
      "y": "1.477671033"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.501392593",
      "y": "0.414225757"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.398980485",
      "y": "1.660786534"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.061944803",
      "y": "1.200913712"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.838439671",
      "y": "0.933388044"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.133810827",
      "y": "1.417206035"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.641655241",
      "y": "0.740754889"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.861957563",
      "y": "1.127638411"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.460710753",
      "y": "0.605618767"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.204891695",
      "y": "1.635970453"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.642794326",
      "y": "0.936420417"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.946933542",
      "y": "1.359213132"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.273657752",
      "y": "1.829425921"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.291081903",
      "y": "0.502918217"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.018799566",
      "y": "1.575505455"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.455619227",
      "y": "0.801392319"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.655206518",
      "y": "1.131695182"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.761840931",
      "y": "1.295754313"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.288817427",
      "y": "0.699101284"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.059749241",
      "y": "1.767195315"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.458271617",
      "y": "1.001517776"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.829893373",
      "y": "1.516018410"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.873657112",
      "y": "1.706730317"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.288817427",
      "y": "0.903683354"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.470683809",
      "y": "1.196792541"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.644800762",
      "y": "1.452559591"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.288817427",
      "y": "1.099352197"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.682390118",
      "y": "1.644583903"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.458708634",
      "y": "1.392094593"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.288817427",
      "y": "1.295021041"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.496297989",
      "y": "1.584118905"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.296249609",
      "y": "1.516738235"
    }
  ],
  "radius": "0.097834421"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 64,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.400931216",
      "y": "0.341898416"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.515942476",
      "y": "0.500197836"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.630953737",
      "y": "0.658497256"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.745964997",
      "y": "0.816796675"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.876254600",
      "y": "1.000002892"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.270774821",
      "y": "0.166651665"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.206334267",
      "y": "0.362351380"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.321345527",
      "y": "0.520650799"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.436356788",
      "y": "0.678950219"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.551368048",
      "y": "0.837249639"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.666379309",
      "y": "0.995549059"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.755888885",
      "y": "1.169544266"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.059668980",
      "y": "0.232830764"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.356771099",
      "y": "0.857702602"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.230706185",
      "y": "0.694060159"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.560409494",
      "y": "1.160935883"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.018987140",
      "y": "0.424223774"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.873576851",
      "y": "0.293295762"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.629003006",
      "y": "1.344187695"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.400291532",
      "y": "1.048470179"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.050721487",
      "y": "0.617302067"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.162086340",
      "y": "0.877302112"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.832895011",
      "y": "0.484688771"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.434914216",
      "y": "1.319371614"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.687484722",
      "y": "0.353760760"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.205606773",
      "y": "1.068069688"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.513991746",
      "y": "1.502487114"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.982101641",
      "y": "0.800544020"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.248822087",
      "y": "1.258906616"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.827747370",
      "y": "0.680289891"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.018424370",
      "y": "1.010146136"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.646802882",
      "y": "0.545153769"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.319902956",
      "y": "1.477671033"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.501392593",
      "y": "0.414225757"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.398980485",
      "y": "1.660786534"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.061944803",
      "y": "1.200913712"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.838439671",
      "y": "0.933388044"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.133810827",
      "y": "1.417206035"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.641655241",
      "y": "0.740754889"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.861957563",
      "y": "1.127638411"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.460710753",
      "y": "0.605618767"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.204891695",
      "y": "1.635970453"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.642794326",
      "y": "0.936420417"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.946933542",
      "y": "1.359213132"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.273657752",
      "y": "1.829425921"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.291081903",
      "y": "0.502918217"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.018799566",
      "y": "1.575505455"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.455619227",
      "y": "0.801392319"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.655206518",
      "y": "1.131695182"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.761840931",
      "y": "1.295754313"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.288817427",
      "y": "0.699101284"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "1.059749241",
      "y": "1.767195315"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.458271617",
      "y": "1.001517776"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.829893373",
      "y": "1.516018410"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.873657112",
      "y": "1.706730317"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.288817427",
      "y": "0.903683354"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.470683809",
      "y": "1.196792541"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.644800762",
      "y": "1.452559591"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.288817427",
      "y": "1.099352197"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.682390118",
      "y": "1.644583903"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.458708634",
      "y": "1.392094593"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.288817427",
      "y": "1.295021041"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.496297989",
      "y": "1.584118905"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.296249609",
      "y": "1.516738235"
    }
  ],
  "radius": "0.097834421"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

本题m=6，n=3的证明NUE_13#310 条回复38 天前