P82 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等圆装入正多边形 · m = 6 · n = 46

在中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形内放入 n 个互不重叠的等圆，最大化圆半径。

子题m = 6 · n = 46

目标最大化圆半径

纪录对比

圆半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.120631837546, 0.120631837548]	Paolo Amore	Packomania ↗
本站纪录	0.120631837	邱仲普	纪录详情 ↓

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严格定义

容器编辑器与证书将容器统一归一化为中心 (1,1)、外接圆半径 1、首个顶点 (2,1) 的精确正 m 边形；公开得分按文献规范计算。允许接触边界。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。多边形允许任意角度独立旋转。
精度输入的十进制小数按精确有理数解析，正多边形顶点由精确代数数定义，可行性检验不设浮点容差。
目标最大化圆半径 r（容器外接圆半径固定为 1）。

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已验证构造已验证构造

帮助理解

文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。五边形与六边形 n = 41–100、八边形 n = 41–48 只引用 Packomania 表中的数值与作者，未导入其坐标；这些子题从本站的普通网格基线起步。

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构型与历史

纪录详情

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纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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纪录保持者的求解笔记公开方法与可复现线索（点击展开）＋

P82-m6-n46-v1：从站内半径 0.120631835 的公开构造出发，固定正六边形中心 (1,1)、外接圆半径 1 和首顶点 (2,1)，在 1e-9 整数网格上调整全部圆心。每轮尝试将公共半径增加一个网格单位；用 HiGHS MILP 搜索可行的整数坐标位移，每个坐标的位移上限依次为 2、10、100、1000，时限 5 秒、相对间隙 0。包含约束用六条边的半平面表示，近接触圆对采用平方距离一阶约束，并加 0.0001 网格单位的线性安全余量。只有通过完整精确验证的严格改进才接受。上限 2、10 的两轮分别得到半径 0.120631836、0.120631837；后续上限未获得额外改进。复现最终证书：将半径设为 0.120631837，按起始证书圆心顺序施加以下非零 [dx,dy]（单位 1e-9），turn 均为 0：1:(2,0), 2:(3,0), 3:(4,0), 4:(3,6), 5:(-1,2), 6:(4,6), 7:(4,5), 8:(3,6), 9:(4,6), 10:(-1,1), 11:(-1,1), 12:(8,7), 13:(1,6), 14:(9,7), 15:(0,1), 16:(1,2), 17:(2,1), 18:(2,4), 19:(9,8), 20:(7,10), 22:(0,1), 23:(0,1), 24:(0,1), 25:(-2,4), 26:(-2,4), 27:(-2,-8), 28:(-5,8), 30:(1,0), 31:(3,1), 32:(4,0), 33:(5,-9), 34:(3,3), 35:(3,-2), 38:(-1,5), 39:(-1,2), 40:(-1,0), 41:(0,-1), 42:(0,-1), 43:(-3,6), 44:(-2,0), 45:(-2,0), 46:(-2,0)。两套实现独立复核了全部 276 条边界与 1035 个圆对距离约束：第一套对 a+b√3 作精确符号判定；第二套以有理数上下界包围六边形顶点并保守判定全部边界。圆对距离均以整数平方比较，检查 (xi−xj)^2+(yi−yj)^2≥4r^2。最终半径增加 2 个网格单位；这是站内构造改进，未证明全局最优。

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历史纪录（2 次易主）

邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.120631835→0.120631837
2026-10-31
NUE_13AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
0.058441558→0.120631835
2026-10-23

ANSWER FORMAT

答案怎么写

中心为 (1,1)、外接圆半径为 1、首个顶点为 (2,1) 的正 m 边形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.711305335",
      "y": "0.254606434"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.952569011",
      "y": "0.254606434"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.193832687",
      "y": "0.254606434"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.434964140",
      "y": "0.262592858"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.501189159",
      "y": "0.373178587"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.831937174",
      "y": "0.463546911"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.073200849",
      "y": "0.463546910"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.314332302",
      "y": "0.471533329"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.555595978",
      "y": "0.471533329"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.380557322",
      "y": "0.582119058"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.621820997",
      "y": "0.582119058"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.952569016",
      "y": "0.672487384"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.590568811",
      "y": "0.710248770"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.279992460",
      "y": "0.710340650"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.259925485",
      "y": "0.791059529"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.501189161",
      "y": "0.791059530"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.742452837",
      "y": "0.791059529"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.779816030",
      "y": "0.859893853"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.096044479",
      "y": "0.866453755"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.435335261",
      "y": "0.894939608"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.139293648",
      "y": "1.000000000"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.380557323",
      "y": "1.000000001"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.621820998",
      "y": "1.000000001"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.863084673",
      "y": "1.000000001"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.802944553",
      "y": "1.100046371"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.320521295",
      "y": "1.107132713"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.561784970",
      "y": "1.107132701"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.079257617",
      "y": "1.107132717"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.259925485",
      "y": "1.208940472"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.501189161",
      "y": "1.208940472"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.742452838",
      "y": "1.208940473"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.434964141",
      "y": "1.319526205"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.676227817",
      "y": "1.319526196"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.193700465",
      "y": "1.319526208"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.952569011",
      "y": "1.327512621"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.380557323",
      "y": "1.417880943"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.621820998",
      "y": "1.417880943"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.314332298",
      "y": "1.528466682"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.555595973",
      "y": "1.528466679"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.831937169",
      "y": "1.536453095"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.073200845",
      "y": "1.536453094"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.501189160",
      "y": "1.626821414"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.434964134",
      "y": "1.737407154"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.711305331",
      "y": "1.745393566"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.952569006",
      "y": "1.745393566"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.193832681",
      "y": "1.745393566"
    }
  ],
  "radius": "0.120631837"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 46,
  "sides": 6
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.711305335",
      "y": "0.254606434"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.952569011",
      "y": "0.254606434"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.193832687",
      "y": "0.254606434"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.434964140",
      "y": "0.262592858"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.501189159",
      "y": "0.373178587"
    },
    {
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      "x": "0.831937174",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.073200849",
      "y": "0.463546910"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.314332302",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.555595978",
      "y": "0.471533329"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.380557322",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.621820997",
      "y": "0.582119058"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.952569016",
      "y": "0.672487384"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.590568811",
      "y": "0.710248770"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.279992460",
      "y": "0.710340650"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.259925485",
      "y": "0.791059529"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.501189161",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.742452837",
      "y": "0.791059529"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.779816030",
      "y": "0.859893853"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.096044479",
      "y": "0.866453755"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.435335261",
      "y": "0.894939608"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.139293648",
      "y": "1.000000000"
    },
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      "x": "0.380557323",
      "y": "1.000000001"
    },
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      "x": "0.621820998",
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    },
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      "turn": "0",
      "x": "0.863084673",
      "y": "1.000000001"
    },
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      "turn": "0",
      "x": "1.802944553",
      "y": "1.100046371"
    },
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      "x": "1.320521295",
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      "x": "1.561784970",
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      "x": "1.079257617",
      "y": "1.107132717"
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      "x": "0.259925485",
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      "x": "0.501189161",
      "y": "1.208940472"
    },
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      "x": "0.742452838",
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      "x": "1.434964141",
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      "x": "1.676227817",
      "y": "1.319526196"
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      "x": "1.193700465",
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      "y": "1.327512621"
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      "x": "0.380557323",
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    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.621820998",
      "y": "1.417880943"
    },
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      "x": "1.314332298",
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      "x": "1.555595973",
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      "x": "0.831937169",
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    {
      "turn": "0",
      "x": "1.073200845",
      "y": "1.536453094"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.501189160",
      "y": "1.626821414"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.434964134",
      "y": "1.737407154"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.711305331",
      "y": "1.745393566"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "0.952569006",
      "y": "1.745393566"
    },
    {
      "turn": "0",
      "x": "1.193832681",
      "y": "1.745393566"
    }
  ],
  "radius": "0.120631837"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

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本题m=6，n=3的证明NUE_13#310 条回复38 天前